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Libro Interactivo de Matemáticas de 1º ESO

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Fomento del Cálculo Mental

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Esbozo de funciones  v.0.2

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Aula i-matematicas.com

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Carnaval de Matemáticas

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II Día de las Matemáticas en el IES Chaves Nogales

Los autores de esta entrada: JuanMa Díaz (@juanmadiaz) y Pepe Garrido (@ppgarr) profesores del IES Chaves Nogales (@IESChN), y Sonia Ramos, María José Fernández y Joaquín García (@imatematicas) profesores del IES Profesor Tierno Galván (@iesptg), que son los organizadores del II Día de las Matemáticas en el IES Chaves Nogales.

Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid.

El pasado miércoles 26 de Marzo de 2014 celebramos en el IES Chaves Nogales nuestro particular II Dia de las Matemáticas (pulsa en el siguiente enlace para conocer el I Día de las Matemáticas). El formato es muy divertido, alumnxs del IES Profesor Tierno Galván, 19 alumnxs de 2ESO, 3ESO y 4ESO, se encargan de explicar diferentes actividades Matemáticas durante dos horas consecutivas a los chavales del Chaves Nogales. Fueron 6 grupos de 1ESO y 5 grupos de 2ESO. Las actividades programadas y desarrolladas: gymkana Matemática, actividades con palillos y tapones, mosaicos regulares y uniformes, construcción de un omnipoliedro con cañitas de refrescos, poliedros con gominolas, un gigante omnipoliedro en PVC (que se ha quedado en el Chaves Nogales como regalo) y actividades con pompas de jabón

Lógicamente los chicxs del Tierno acabaron muy cansados pero muy satisfechos con el trabajo desarrollado al igual que los chicxs del Chaves Nogales: Objetivo cumplido.

Vean el vídeo que han preparado los profesores del Chaves Nogales. Muchas gracias por ello.

Sin duda que estas actividades es necesario fomentarlas entre Centros de Enseñanza y, tengo entendido por Pepe Garrido, que los organizadores de la Feria de la Ciencia quieren potenciar. Así que enhorabuena por la inicitiava.

 

Estrellas

La belleza del objeto geométrico producido está al mismo nivel de la sencilla explicación matemática que lo produce.

En este curso, hemos enseñado a nuestros chavales de los talleres de 2º y 3º ESO de nuestro IES Profesor Tierno Galván a trazar y dibujar estrellas

resultados espectaculares, ¿verdad?. Los profesores estamos gratamente sorprendidos.

¿Y cuál es esa matemática tan bonita que usamos para hacerlas?. Os hemos preparado un vídeo:

Estrellas from Joaquín García on Vimeo.

También existe bibliografía al respecto.

Una vez explicada la técnica, nuestros alumnxs se han esmerado en crear (#creatividad) que era uno de nuestros objetivos, capacitarlos a elaborar algo nuevo admirado en muchos casos por los demás y por ellos mismos. (Esto es algo muy parecido a la Innovación, ¿verdad? y a que no le tengan miedo en un futuro)

#PsicomotricidadFina. No todas las estrellas han salido bien, y es que no todos presentan los mismos niveles de concentración durante el estudio ni, obviamente, todos presentan las mismas habilidades. Pero el resultado no es lo más importante. Primamos en estos casos la evolución durante las 4 sesiones de sus trabajos

Durante las sesiones de trabajo se les ha mostrado imágenes de estrellas para que sean capaces de reconocerlas. Por los suelos podemos encontrarnos estrellas:

Fuente de la imagen.

en el centro es visible el trazado del polígono estrellado {8,3} y las líneas {8,4}. En la siguiente

Fuente de la imagen.

 Podemos contar las 8 puntas de la estrella negra del interior y en la que se ha trazado un poligono estrellado {8,3} y en el que es visible las uniones por el {8,4}. Difícil es ver la estrella blanca que procede de un poligono de 24 lados y en el que se ha trazado la estrella {24,8} y {24,10}.

Visitando iglesias nos podemos encontrar rosetones {5,2}

Fuente de la imagen.

En la catedral de Valencia podemos ubicar los dos triángulos {6,2} y en su interior podemos contar 12 vértices (ahora en los Talleres estamos trabajando con compás y estamos construyendo este tipo de rosetones)

Fuente de la imagen.

al igual que en la catedral de Mallorca:

Fuente de la imagen.

Hasta en el patio:

Esta entrada participa en la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.

Ilusiones ópticas

En el IES Cristóbal de Monroy hemos empezado el nuevo trimestre del Taller de Matemáticas con una presentación sobre ilusiones ópticas, juegos visuales, anamorfosis, figuras imposibles… Ha sido una sesión muy divertida en que que se han implicado todos los alumnos, participando de forma activa en la explicación de las diapositivas y/o resolución de acertijos visuales.

A uno de los grupos (4º ESO A) se le ha animado a que dibujasen en sus cuadernos alguna imagen curiosa que encontraran. Los resultados han sido muy satisfactorios:

A los alumnos del grupo de 3º ESO se les animó a que buscaran imágenes para publicarlas en la Revista Digital que construyen nuestros alumnos. También la implicación fue masiva, buscando multitud de imágenes que se pueden ver en el siguiente enlace, en la Sección “Para Ver”:

Revista Digital IES Cristóbal de Monroy

Este es un tema bastante divertido y motivador para todo tipo de alumnado. Haced la prueba y lo comprobaréis.

Esta entrada participa en la Edición 4.1231056256 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.

Trabajando con Mosaicos

Uno de los bloques temáticos más bonitos y apasionantes que tienen las Matemáticas es la Geometría. Y existen muchas actividades preciosas con las cuales abordarla sin cargar a los alumnos con tediosos contenidos teóricos y problemas típicos. Al final los alumnos acaban aprendiendo, casi sin darse cuenta, y además se divierten, trabajan en equipo de forma colaborativa y autónoma, investigan, utilizan el método de ensayo-error, en síntesis, aprenden a aprender.

Siguiendo con el tema de recubrimientos en el plano, gran tema del que se pueden sacar infinidad de maravillosas y motivadoras actividades para trabajar con los alumnos en las clases, en el IES Cristóbal de Monroy hemos trabajado durante este trimestre con los mosaicos uniformes y no uniformes.

A través de esta actividad, completamente manipulativa, los alumnos trabajan el concepto de polígono, tipos de ángulos…, pero lo más interesante es la libertad que se les da para realizar sus propias creaciones y lo más increíble de todo es el resultado obtenido. Si alguien se quiere sorprender con las creaciones de los alumnos sólo tiene que darle unas mínimas nociones, el material y dejar rienda suelta a su imaginación.

Es alucinante comprobar cómo después de una breve exposición del trabajo que tienen que realizar se ponen manos a la obra y cómo, poco a poco, van construyendo, entre todos, los ocho tipos de mosaicos uniformes y no uniformes sin necesidad de explicarles nada más.

La actividad se plantea de la siguiente manera:

1. Haciendo que ellos calculen el ángulo interno de cualquier polígono regular por el método de triangulación (sólo necesitan saber que los tres ángulos de un triángulo suman 180º).

Por ejemplo, el cuadrado puede dividirse en dos triángulos tranzando una diagonal (dos triángulos menos que el número de lados  que, en este caso, son cuatro). Si sumamos los ángulos de los dos triángulos, sería 2 . 180º = 360º. Como el cuadrado tiene 4 ángulos iguales, 360º/4 = 90º, es decir, cada ángulo de un cuadrado mide 90º. Esto se puede continuar triangulando otros polígonos (pentágono, hexágono), realizando previamente la triangulación, trazando diagonales siempre desde un mismo vértice:

pentagono

Al final llegan a obtener la fórmula general para calcular el ángulo interior de cualquier polígono: (n – 2) . 180/n, siendo n el número de lados del polígono. Por ejemplo, si queremos hallar el ángulo interior del dodecaedro (12 lados):

(12 – 2) . 180º/12= 150º

2. Una vez hallados, se recuerdan los tipos de ángulos (agudo, recto, obtuso, llano y completo) y se les explica que, para poder construir un mosaico, los polígonos deben recubrir el plano, es decir, que la suma de los ángulos de polígonos que concurren en un mismo vértice debe ser el ángulo completo (360º).
3. Se define mosaico regular como aquellos en los que en todos los vértices concurren polígonos regulares (no teniendo que ser el mismo) y en el mismo orden.
4. Previamente los alumnos han traído, impresas en cartulinas, las plantillas de los polígonos con los que se pueden construir mosaicos.
Se les indica que sólo hay 8 tipos de mosaicos uniformes y… ¡a investigar!

5. También, sin querer,  acaban construyendo mosaicos no uniformes, en los que en todos los vértices no concurren la misma secuencia de polígonos. Una vez construidos se les explica por qué esos mosaicos no son uniformes y la diferencia que hay entre un mosaico uniforme y otro que no lo es.

Lo que no se les ocurre a unos se les ocurre a otros pero no dejan nada atrás. Es un trabajo que haciéndolo una sola persona emplearía mucho más tiempo y energía que si se trabaja en grupo, donde todos y cada uno de los alumnos que componen ese grupo acaba asimilando la totalidad de los objetivos marcados al plantear dicha actividad.

mosaicos1

mosaicos3

mosaicos2

Sin querer, van obteniendo también variantes de los mosaicos uniformes (con la secuencia cambiada) y no uniformes (con distinta secuencia en vértices contiguos)

mosaicos4

mosaicos6

También juegan con los colores para obtener preciosas composiciones.

2013-11-06 15.08.51

Finalmente se les invitó a que siguieran construyendo mosaicos no regulares, haciendo buen uso de su creatividad.

mosaicos5

Esta entrada participa en la Edición 4.12b3105625 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES

Logos y mosaicos con polígonos regulares

En nuestro alrededor podemos fácilmente descubrir figuras planas como triángulos, cuadrados, pentágonos,.. aunque en ocasiones no seamos conscientes de su presencia, y eso que pisamos suelos formados, generalmente, por losetas cuadradas o rectangulares.

Suelos cuadrados que forman mosaicos (regulares) y es que rellenan el suelo completamente utilizando únicamente losetas cuadradas y por eso se llaman mosaicos regulares.

Para motivar-justificar esta propuesta, les enseñamos logotipos publicitarios basados en el recubrimiento del plano mediante triángulos equiláteros (rombos), cuadrados y en un suelo del Paseo marítimo de la Playa del Arenal en Jávea formado por hexágonos.

 

La propuesta con nuestros alumnos y alumnas de la optativa Matemáticas Manipulativas de 2º ESO era por una parte que comprobaran que el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono eran los únicos que pueden formar mosaicos uniformes.

Y por otra parte que crearan logotipos y mosaicos utilizando tres tipos de losetas: rombos (formados por dos triángulos equiláteros), cuadrados y hexágonos. Con rombos prepararon estos tres tipos de losetas:

con cuadrados:

de la misma forma con los hexágonos. Ahora que la creatividad tome su espacio para crear logos tan chulos como éstos:

y mosaicos tan atractivos como:

 

Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.

Números en nuestro entorno

Para iniciar este curso nuestra optativa de Matemáticas Manipulativas nada mejor que empezar por un tema muy cercano al alumno y fácil de trabajar como son los números.

A esta edad, tal vez todavía no ha surgido el pánico masivo a los números, pero trabajar las matemáticas y, en este caso los números, desde otro ámbito puede ser una alternativa muy práctica para evitarlo. Además, puede hacer que nos salgamos de la rutina de utilizar los números naturales simplemente para operar. y sobretodo ayudar a estimular su interés y a que tomen conciencia de la importancia de los números en nuestra vida diaria.

Tras un pequeño debate sobre sus utilidades más inmediatas se les planteó una actividad que se presta al humor. Se les pidió a los alumnos que imaginasen cómo serían sus vidas sin números, planteando situaciones cotidianas.

• ¿Cuántos años tienes?.
• ¿Qué hora es?.
• ¿Cuándo es tu cumpleaños?.
• ¿En qué piso vives?.
• ¿Cuánto te ha costado ese juego?.
• Eres muy alto, ¿Cuánto mides?.
• ¿Por qué un equipo pierde, empata o gana un partido?.

Se les pidió responder a preguntas de este tipo sin usar números. Es sorprendente la imaginación de algunos alumnos.

Para preparar la segunda clase tenían que traer:

1) Una hoja donde habían apuntado todos los números que habían visto a lo largo de un día, dónde y con qué utilidad.
2) Fotos de números que se encontrasen por la calle (de cosas diferentes) para realizar un trabajo digital con las fotos, o bien sacarlas por la impresora y en clase hacer una composición sobre una cartulina, indicando la utilidad de esos números. Para aquellos sin cámara podía valer el que recortasen números de periódicos, revistas, o imágenes bajadas de internet. y en clase hacer una composición sobre una cartulina. He aquí algunos de los trabajos:

En las siguientes sesiones se trabajaron algunas curiosidades numéricas, muchas de ellas tomadas de http://www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/capitulo05.html  Pulsar en el siguiente enlace para acceder a los materiales trabajados por los alumnos.

Se les hizo juegos de magia con números, explicándoles a los alumnos de tercero de la ESO algunos de los trucos más sencillos.

Construyeron pirámides numéricas, en algunos casos se les hizo reflexionar sobre las propiedades numérica que se ocultaban tras ellas. Pulsar en el siguiente enlace.

En la última sesión se les propuso un paseo por la historia. Primero se les planteó cuál fue el sistema de numeración más antiguo para contar. Este fue dibujar palitos, un hecho tan sencillo y común hoy en día al cual podríamos denominar el sistema más simple que se ha conocido. Se les enseñó otros sistemas de numeración como: jeroglíficos egipcio, griego, chino, babilónico, maya, romano, y por último el sistema binario, Y se les pidió escribir su edad y su año de nacimiento en algunos de ellos. El que tuvo más éxito y con diferencia fue el chino. Pulsa en el siguiente enlace.

Se les hizo ver cómo estos símbolos han ido evolucionando hasta los actuales que se han generalizado de tal forma que los entendemos en cualquier idioma.

Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.

Resumen de la Edición 4.1231 #CarnaMatMayo

Ha sido un lujo llevar esta edición del Carnaval y he seguido aprendido de todxs vosotrxs.

A continuación el resumen definitivo del Carnaval de Matemáticas Edición 4.123. Si no aparece en el resumen alguna entrada, os ruego que me mandéis un correo jgarciamolla@gmail.com o me dejéis un comentario en esta entrada.

Ahora toca votar las 3 entradas que mas os hayan gustado asignándoles 4 puntos, 2 puntos y 1 punto. Tenemos hasta el 8 de Junio para votar. Los autores de los tres primeros premios se llevarán el fantástico libro de Clara Grima “Hasta el infinito, y más allá“, con dedicatoria incluida.

Nos vemos en la próxima edición del Carnaval cuyo anfitrión será el blog Geometría Dinámica. ¡¡¡Muchísimas gracias por la participación!!!

Lunes 20 de Mayo de 2013:

 

 

Martes 21 de Mayo de 2013

 

Miércoles 22 de Mayo de 2013

 

 

 

Jueves 23 de Mayo de 2013

 

 

 

 

 

Viernes 24 de Mayo de 2013

 

 

Sábado 25 de Mayo de 2013

 

 

 

  • Entrevista a Christiane Rousseau, presidenta del MPE2013. Autor: πkasle es una revista digital de matemáticas creada por un grupo de estudiantes de la UPV/EHU.

 

 

 

 

Domingo 26 de Mayo de 2013

 

 

Muchas gracias a todxs.

Construyendo poliedros en 2º ESO

Me gustaría compartir con vosotros nuestra última experiencia docente: intentar enseñarle a alumnos de 2º de la ESO cuerpos geométricos, contamos con una ventaja de lujo, las dos horas a la semana de la optativa Matemáticas Manipulativas.

Es una práctica sencilla y económica. Entre los alumnos ha tenido bastante éxito tal vez porque no requiere un gran esfuerzo ni mucha pericia, pero aún así han aprendido, se han familiarizado con los cuerpos geométricos, sus nombres y sus elementos, han trabajado la motricidad fina y la visión espacial. Todos nos hemos divertido, y hasta los alumnos menos colaboradores han trabajado.

Primero se les ha proporcionado los desarrollos planos de distintos poliedros y cuerpos de revolución (poliedros regulares, primas, pirámides, el cilindro, el cono y el cono truncado) (Pulsa en el enlace para descargarte el material). Algunos los han decorado con distintos motivos y colores y después los han recortado, doblado y pegado. La tarea de doblar y pegar para algunos alumnos ya reviste de cierta complicación, pues aún a estas edades nos encontramos con alumnos con dificultades en la psicomotricidad fina y manipular trozos pequeños de papel les resulta todo un reto. También deben rellenar la siguiente tabla con el número de vértices, aristas y caras, comprobando la fórmula de Euler.

La práctica continuó con la construcción de algunas de estas figuras con cañitas de refresco y limpia-pipas, tomaron como modelo los poliedros de papel construidos por ellos mismos. Algunos llegaron a adquirir verdadera maestría construyendo cuerpos más complicados en muy poco tiempo, y otros se limitaron a los poliedros y prismas más sencillos.

Para finalizar la práctica se dedicó una clase a construir estos cuerpos con palillos de dientes y palos de brochetas cortados en distintos tamaños para las aristas y gominolas para los vértices. Fue una dulce forma de cerrar nuestro trabajo con los poliedros.

Sugerencia para economizar: Se pueden usar garbanzos, ablandados previamente con agua, para los vértices. No son tan vistosos ni populares entre los alumnos pero si baratísimos.

Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas“.

 

¡¡Quiero estudiar Matemáticas!!

Es bueno que los docentes que formamos parte del Carnaval de Matemáticas, sepamos por qué un chicx de Bachillerato quieres estudiar Matemáticas. Y eso es lo que he hecho, pedirle a dos alumnxs de mi IES (Miriam y Carlos) de 1º Bachillerato que nos cuenten por qué quieren estudiar Matemáticas. Mi labor es abrirle puertas …

Miriam Gandul:

Siempre me han considerado como un bicho raro cuando decía que de mayor quería estudiar Matemáticas, y hoy en día todavía no entiendo el porqué, ¿no se dan cuenta que matemáticas es todo lo que nos rodea?. Ella no solo están en los colegios donde todo el mundo dice “puff qué aburrimiento”, sino que también está en la ciudad, en el campo… Aunque parezca increíble todo está creado a base de matemáticas incluso nuestra propia naturaleza. Este es uno de los motivos por los que me inclino a estudiar matemáticas, otro de ellos es que las encuentro fáciles, divertidas y muy muy interesantes.

Un día me preguntaron: Miriam, ¿Por qué te gustan tanto las matemáticas?, en ese momento no supe contestarle para que me entendiera, entonces se lo comparé con un buen libro, de esos que te absorben a la lectura y que cuando empiezas no puedes dejar de leerlo hasta que llegas al final. Muchos de mis compañeros creen que ya han llegado a ese final, pero para mí son solo las primeras hojas de una fantástica historia a la cual estoy enganchada, porque por más que aprendo de ellas, se que nunca encontraré ese final.

Carlos Diaz:

Porque para mi son algo fiable, lógico.

Es algo en lo que no hay dudas, simplemente es así. Se necesita la razón antes que el memorizar cosas que para ti no tendrán ningún sentido y que simplemente lo haces para sacar una nota en un examen.

Eso que memorizas al cabo de los días se te olvidara.

En cambio la matemáticas es algo tan cotidiano y necesario que solo con pensarlo te salen solas.

Son tan fascinantes que con algo tan simple como el porqué las tapas de las alcantarillas son redondas hace que tu cabeza piense. Es algo tan simple que te fascina.

Ese es uno de mis motivos por el cual las matemáticas son tan fascinantes y a la vez divertidas.

Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matemáticas interactivas y manipulativas“.

 

HIPERBOLOIDES DE REFRIGERACIÓN

Aportación al Carnaval de Matemáticas de Antonio Díaz PérezIngeniero Químico Industrial. He disfrutado conociendo por qué las torres de refrigeración de las centrales nucleares son hiperboloides de revolución y cómo construirlas. 

HIPERBOLOIDES DE REFRIGERACIÓN

Muchos podréis preguntaros qué es eso de “hiperboloide de refrigeración”; es cierto, suena un poco rara esta denominación, aunque no tanto si estamos en pleno carnaval de matemáticas…

Pues bien, no se trata de ningún disfraz, con “hiperboloide de refrigeración” quiero reclamar una de las mayores contribuciones que el hiperboloide de revolución ha realizado a la ingeniería: la construcción de torres de refrigeración.

Una torre de refrigeración es un equipo cuya finalidad es reducir la temperatura de una corriente de agua; las torres de refrigeración son ampliamente utilizadas en la industria, especialmente en las centrales de generación eléctrica que, por el propio diseño del ciclo térmico, requieren necesariamente de un elemento para refrigerar el agua que utilizan.

Las torres de refrigeración enfrían el agua mediante un mecanismo muy simple, dispersan el agua en la parte superior de la torre haciéndola caer por su interior en forma de gotas o con la ayuda de un material de relleno que favorece el contacto. Estas gotas al caer se encuentran con una corriente ascendente de aire que evapora agua de las gotas hasta saturarse. El calor que necesitan las moléculas de agua para evaporarse es extraído de la gota a la que pertenece y… ¡voilà! Ya tenemos nuestra gota de agua a una temperatura menor.

Por tanto, las torres de refrigeración necesitan una corriente descendente de agua líquida -la que queremos enfriar-, una corriente ascendente de aire y, debido a su funcionamiento, ocasionan una merma en la corriente de agua; es decir, el agua que se evapora deja de estar en la corriente de agua y se va con el aire. De ahí que de las torres de refrigeración sea habitual ver salir por la parte superior una “nube”, es el mismo aire que ha entrado por debajo que en el interior de la torre ha sido saturado con el agua que ha evaporado.

Para aquellos muy inquietos mentales queda la pregunta siguiente: ¿crees que sería posible enfriar agua hasta una temperatura inferior que la del aire que asciende por la torre? (P.e. agua a 32ºC, aire a 28ºC… ¿podríamos enfriar el agua hasta 26ºC?)

Aunque parezca paradójico la respuesta es sí y la solución se encuentra en el diagrama psicométrico del agua; en función de la humedad relativa del aire ambiente podríamos llegar a obrar este aparente ¡milagro termodinámico!.

Bueno, centrándonos en lo que hemos venido a hacer aquí debo explicar que existen dos tipos diferentes de torres de refrigeración, las de tiro natural y las de tiro forzado. La principal diferencia entre estos dos tipos es que las de tiro forzado utilizan ventiladores para “forzar” la circulación del aire interior de la torre, lo que los hace equipos más compactos. En cambio, las de tiro natural hacen fluir el aire sin necesidad de que ningún elemento mecánico lo impulse. Ahí es donde radica la grandeza -y belleza- de las torres de refrigeración de tiro natural y donde nuestro protagonista, el hiperboloide de revolución, juega un papel destacado.

Prácticamente todas las torres de refrigeración industriales de tiro natural que se construyen presentan forma de hiperboloide de revolución y esto se debe a dos motivos fundamentales, uno de ellos es estructural y el otro operacional. Analicemos en primer lugar el operacional.

¿Cómo puede un “simple” cuerpo geométrico hacer circular aire por su interior?.

Resulta curioso que sin ningún elemento mecánico un “conducto hiperbólico” vertical favorezca la creación de una corriente de aire ascendente y, ciertamente, no se debe únicamente a eso.

El hiperboloide de revolución es una figura que ayuda a crear un perfil adecuado de velocidades de aire en su interior, pero no es el elemento impulsor; éste lo constituye la diferencia de densidades entre el aire seco que entra por la parte inferior de la torre –mayor- y la densidad del aire húmedo que sale por la parte superior –menor-. Se debe tener en cuenta que el peso molecular medio del aire seco es de 28,97 gramos/mol y el de el agua es de
18 gramos/mol, esto hace que al incorporarse una parte del agua al aire en el interior de la torre la corriente de aire presente cada vez una densidad menor, siendo ésta la verdadera fuerza impulsora de la corriente de aire.
Esta disminución de densidad de la corriente de aire se ve favorecida por la forma del hiperboloide de revolución, que hace de tobera con dos efectos:

  1. La reducción progresiva de la sección de paso en la zona inferior acelera la corriente de aire -misma cantidad de aire que ha de pasar a través de una sección menor-.
  2. La zona media-alta del hiperboloide presenta un mínimo en su sección a partir del cual la sección aumenta. Se debe tener en cuenta que en el interior de la torre una parte del agua ha pasado a fase vapor, por lo que el flujo másico en la zona superior es mayor que en la zona inferior (zona inferior: flujo de aire; zona superior: flujo de aire+flujo de la fracción de agua evaporada) esta figura geométrica es una de las que fluidodinámicamente mejor resuelve este aspecto, creando un perfil de presiones en su interior que favorece la circulación interior de forma natural.

¿Cuál es la ventaja estructural?.

as torres de refrigeración de tiro natural son edificaciones de gran altura, las actualmente más altas del mundo están en Kalisindh, en La India y tienen nada menos que 202 metros de altura.

Las torres de refrigeración se construyen de hormigón armado, debido a que es el material con peso y resistencia más adecuados para construir torres de gran envergadura, y con forma de hiperboloide de revolución, forma que le confiere importantes ventajas estructurales a las torres.

El hiperboloide de revolución es un cuerpo que permite el doble pretensado del hormigón según las direcciones de sus dos familias de rectas (el pretensado consiste en la precarga de las varillas de acero que se colocan en el interior del hormigón para aumentar la resistencia de éste a tracción), esto hace que las cargas propias de la estructura se transmitan de forma lineal en dos direcciones diferentes, aportando con ello al hormigón una resistencia estructural extraordinaria.

Esta elevada resistencia estructural permite construir grandes estructuras con menos material, mejorando el peso propio, permitiendo además soportar y distribuir las fuerzas que el viento u otros elementos externos puedan ejercer sobre la estructura.

Fíjense por un momento en la parte inferior de las torres que se muestran a continuación. Se ha indicado anteriormente que por la parte inferior de las torres ha de entrar el aire que ascenderá por éstas; por ello, se requiere que esa zona inferior esté abierta, pero por otro lado se ha de soportar toda la estructura de la torre. La mejor solución es continuar las rectas contenidas en la superficie del hiperboloide de revolución.

El hecho de que existan dos familias de rectas contenidas en la superficie de un paraboloide de revolución hace que sean estructuras con mucha resistencia por unidad de peso, pues el hormigón se puede armar y pretensar en dos direcciones con varillas rectas de acero malladas entre sí, además de en las secciones circulares de intersección con los planos horizontales.

Por todo ello, el hiperboloide de revolución ha sido y es uno de los grandes protagonistas de la refrigeración industrial; hecho que, como ingeniero y aficionado a las matemáticas, agradezco especialmente y espero que las historias de la ingeniería y las matemáticas mantengan a esta simple superficie en el lugar que se merece en base a los méritos conseguidos.
Antonio Díaz Pérez
Ingeniero Químico Industrial

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