Matemáticas com pompas de jabón en 2D | Matemáticas interactivas y manipulativas
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Matemáticas com pompas de jabón en 2D

En una anterior entrada, “Matemáticas con pompas de jabón en 3D“, contaba alguna de las actividades que habíamos trabajado con nuestros/as alumnos/as de Proyecto Integrado de Bachillerato usando cubos, tetraedros, etc, fabricados por nosotros y obteníamos una conclusión experimental importante: “que por unidad de volumen, las pompas de jabón se tienden a formar minimizando su superficie“. Utilizamos para su comprobación numérica conocimientos en Trigonometría adquiridos anteriormente. Ahora vamos a analizar qué ocurre en 2D. Para ello preparamos con tapas de cd-rom, tornillos y tuercas las siguientes estructuras casi planas:

Tres tornillos forman un triángulo (en la imagen superior pueden verse de 2 tipos: equilátero e isósceles) y con 4 tornillos podemos obtener una forma cuadrada o trapezoidal (puede prepararse cualquier cuadrilátero). Observamos en las imágenes unos círculos graduados preparados por uno de los alumnos de Bachillerato (Javier M.) y que nos van a permitir medir ángulos.

Fácilmente se puede calcular la superficie de estas figuras geométricas (suponiéndolas planas) considerando, por ejemplo, que el lado es la unidad. Y ¿cuánto vale el perímetro?.

Está claro que entre 2 puntos (tornillos) el camino más corto es la línea recta que une ambos.

y además es la menor distancia posible, que sería  1 unidad en nuestro caso.

¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 3 tornillos?. Se podría pensar que se formaría una película que recorrería los 3 puntos y la longitud de la película jabonosa sería de 3 unidades. Aunque debemos darnos cuenta que con sólo 2 películas tendríamos unidos tamabién los 3 tornillos y el camino mínimo que uniría los 3 tornillos valdría 2 unidades.

¿Qué pasa al introducir el cd-rom? Observad la siguiente imagen:

¿Sabéis cuanto vale el ángulo entre las películas jabonosas?: 120º, lo que indica la 1ª Ley de Plateau.

Conocemos el ángulo, conocemos el valor del lado del triángulo (1 unidad), queda aplicar nociones básicas de Trigonometría para descubrir el valor de uno de estos 3 trozos. La suma de los tres trozos nos sale la raíz cuadrada de 3 = 1,732… unidades. ¡¡Hemos obtenido un camino entre los 3 tornillos menor que 2 unidades!!.

¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 4 tornillos? Si consideramos que el cuadrado tiene de lado 1 unidad, podríamos pensar en una película que recorriese los 4 tornillos y su perímetro sería 4 unidades, aunque sería más corto 3 películas con un tamaño de 3 unidades. Pero seguro que nos parece menor 2 películas por las diagonales del cuadrado y que se corten en un punto (cuya distancia a los 4 tornillos sea la menor posible)

y el cálculo de ese camino es fácil utilizando Pitágoras, obteniendo que ambos caminos suman 2 veces la raíz cuadrada de 2 = 2,82 unidades, ¡¡más corto!!. Introducimos el cd-rom y…

¡¡no es lo previsto!! . Observad el ángulo entre películas: nuevamente se respeta la 1ª Ley de Plateau (ángulo de 120ºentre las películas jabonosas).

Numéricamente obtenemoss 1 + raíz cuadrada de 3 que es más o menos 2,73 unidades, ¡¡mucho menor que lo que habíamos previsto!!

Con lo que  hemos comprobado experimentalmente que “por unidad de superficie, se forma la que tenga menor recorrido“.

Hemos preparado muchos otros cds con diferentes situaciones poligonales, prediciendo lo que podía ocurrir y nos hemos sorprendido con algunos resultados experimentales. Por ejemplo, os recomiendo que preparéis un hexágono regular con 6 tornillos. ¿Qué creéis que va a ocurrir?.

Esta entrada  es mi segunda aportación a la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Zurditorium.

6 comments to Matemáticas com pompas de jabón en 2D

  • anonimo

    muy chulo lo de las pompas de jabón!!me encantó cuando lo hicimos!!

  • Pedro Collantes

    ¡Qué curioso! Os felicito por el trabajo

  • que bueno que inbentaron estoooooooooooooo felicidades

  • rafael

    ¿quisiera saber que usan, aparte de jabon yb agua, para que quede bien formadas y consistentes las figuras? gracias.

  • Noelia

    Felicitaciones por el blog! Encontre muchas actividades muy útiles para mis clases, y también para mi entretenimiento ja.

  • Buenedsimas ideas,muchas gracias! De veadrd que personas como tu son una bendicif3n comparten algo mas que ideas, compartes aquello que con tanto amor y dedicacif3n preparas para tu mas grande tesoro ,Erick. Y nos das la oportunidad a otros de ayudar a nuestros nif1os .Como en mi caso a mi Mathias.

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