Las aulas están vacías, han dado vacaciones en los IES. Ahora el i-matematicas.com (Matemáticas interactivas y manipulativas…. en las aulas de Secundaria y Bachillerato) recargará pilas y experimentará nuevas líneas de trabajo para el próximo curso.
Una parada en el camino y una mirada retrospectiva.
Tras unas intensas horas doblando papel y cartulinas, he podido construir un par de Poliedros de Császár:
Para hacerlo me he bajado una plantilla en PDF de esta web en alemán (información obtenida del post de Tito Eliatron dixit). Una vez ampliada la pegué en una cartulina y corté con la ayuda de una tijera:
Nos indican los vértices con un número, lo que he hecho es plegar y doblar para conseguir unir los vértices.
No ha sido fácil, pero el resultado ha merecido la pena.
La Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología y el Ministerio de Educación ponen en marcha el programa Campus Científicos de Verano, con el fin de potenciar el interés de 300 estudiantes de 4º de ESO y 1º de Bachillerato por la ciencia, la tecnología y la innovación.
Los Campus Científicos de Verano se desarrollarán de forma simultánea en departamentos de investigación de 6 Campus de Excelencia Internacional (Andalucía, Asturias, Cantabria, Cataluña, Galicia y Madrid) entre los días 4 y 31 de julio de 2010.
El plazo de presentación de solicitudes finaliza el 28 de mayo de 2010 a las 14:00h
Más información y formularios para participar en la dirección:
El sábado 15 de Mayo de 2010 tuvo lugar en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, la clausura del curso 2009-2010 del proyecto ESTALMAT (Estímulo del talento matemático) en Andalucía. El objetivo del proyecto ESTALMAT es estimular el talento precoz en las matemáticas a través de clases extraescolares para los chicos o chicas de entre 6º de primaria y 2º de Bachillerato.
La lección de clausura estuvo a cargo de D. Juan Muñoz Pichardo, profesor titular del Departamento de Estadística e Investigación Operativa de la Universidad de Sevilla, titulada “Una estrategia para obtener muestras en la naturaleza: muestreo adaptativo“: interesantísima.
Con posterioridad, la entrega de diplomas a los 50 chicos y chicas Andaluces que han cursado segundo año:
Como profesor de Matemáticas sólo me queda animaros a que presentéis, a las pruebas de selección que se celebrarán el próximo sábado 12 de Junio en las diferentes sedes del proyecto ESTALMAT. a aquellos alumnos y alumnas con especiales dotes para las Matemáticas.
Como padre de uno de los 50 chicos os garantizo que merece la pena.
Aprovecho para felicitar al coordinador del proyecto en Andalucía D.Antonio Aranda Plata y a todo el implicadísimo profesorado que lo hace posible. Muchas gracias.
En una anterior entrada, “Matemáticas con pompas de jabón en 3D“, contaba alguna de las actividades que habíamos trabajado con nuestros/as alumnos/as de Proyecto Integrado de Bachillerato usando cubos, tetraedros, etc, fabricados por nosotros y obteníamos una conclusión experimental importante: “que por unidad de volumen, las pompas de jabón se tienden a formar minimizando su superficie“. Utilizamos para su comprobación numérica conocimientos en Trigonometría adquiridos anteriormente. Ahora vamos a analizar qué ocurre en 2D. Para ello preparamos con tapas de cd-rom, tornillos y tuercas las siguientes estructuras casi planas:
Tres tornillos forman un triángulo (en la imagen superior pueden verse de 2 tipos: equilátero e isósceles) y con 4 tornillos podemos obtener una forma cuadrada o trapezoidal (puede prepararse cualquier cuadrilátero). Observamos en las imágenes unos círculos graduados preparados por uno de los alumnos de Bachillerato (Javier M.) y que nos van a permitir medir ángulos.
Fácilmente se puede calcular la superficie de estas figuras geométricas (suponiéndolas planas) considerando, por ejemplo, que el lado es la unidad. Y ¿cuánto vale el perímetro?.
Está claro que entre 2 puntos (tornillos) el camino más corto es la línea recta que une ambos.
y además es la menor distancia posible, que sería 1 unidad en nuestro caso.
¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 3 tornillos?. Se podría pensar que se formaría una película que recorrería los 3 puntos y la longitud de la película jabonosa sería de 3 unidades. Aunque debemos darnos cuenta que con sólo 2 películas tendríamos unidos tamabién los 3 tornillos y el camino mínimo que uniría los 3 tornillos valdría 2 unidades.
¿Qué pasa al introducir el cd-rom? Observad la siguiente imagen:
¿Sabéis cuanto vale el ángulo entre las películas jabonosas?: 120º, lo que indica la 1ª Ley de Plateau.
Conocemos el ángulo, conocemos el valor del lado del triángulo (1 unidad), queda aplicar nociones básicas de Trigonometría para descubrir el valor de uno de estos 3 trozos. La suma de los tres trozos nos sale la raíz cuadrada de 3 = 1,732… unidades. ¡¡Hemos obtenido un camino entre los 3 tornillos menor que 2 unidades!!.
¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 4 tornillos? Si consideramos que el cuadrado tiene de lado 1 unidad, podríamos pensar en una película que recorriese los 4 tornillos y su perímetro sería 4 unidades, aunque sería más corto 3 películas con un tamaño de 3 unidades. Pero seguro que nos parece menor 2 películas por las diagonales del cuadrado y que se corten en un punto (cuya distancia a los 4 tornillos sea la menor posible)
y el cálculo de ese camino es fácil utilizando Pitágoras, obteniendo que ambos caminos suman 2 veces la raíz cuadrada de 2 = 2,82 unidades, ¡¡más corto!!. Introducimos el cd-rom y…
¡¡no es lo previsto!! . Observad el ángulo entre películas: nuevamente se respeta la 1ª Ley de Plateau (ángulo de 120ºentre las películas jabonosas).
Numéricamente obtenemoss 1 + raíz cuadrada de 3 que es más o menos 2,73 unidades, ¡¡mucho menor que lo que habíamos previsto!!
Con lo que hemos comprobado experimentalmente que “por unidad de superficie, se forma la que tenga menor recorrido“.
Hemos preparado muchos otros cds con diferentes situaciones poligonales, prediciendo lo que podía ocurrir y nos hemos sorprendido con algunos resultados experimentales. Por ejemplo, os recomiendo que preparéis un hexágono regular con 6 tornillos. ¿Qué creéis que va a ocurrir?.
No hay duda de que las pompas de jabón cuadradas, cúbicas y tetraédricas han sido una de nuestras actividades estrella en la VIII Feria de la Ciencia de Sevilla y es que las pompas de jabón tienen “algo” que llama la atención a grandes y a pequeños. Como profesor debo deciros que el trabajar con pompas con mis alumnos/as de Proyecto Integrado de Bachillerato (*) en estos dos últimos meses ha sido todo un reto y una experiencia inolvidable tanto por la forma en la que se ha trabajado en el laboratorio como por los resultados obtenidos.
No voy a detallar las sesiones que hemos dedicado a descubrir los efectos de la tensión superficial de los líquidos porque, aunque muy interesante y clarificador, no quiero extenderme. Lo mejor es que te pongas manos a la obra, prepares una disolución jabonosa (1 litro de agua mineral, unas 6 cucharadas de Fairy y otras 6 de glicerina), hagas con alambre una estructura cerrada cuadrada, le anudes una pequeña cuerda en 2 lados contiguos del cuadrado, lo introduzcas en la disolución, lo saques y rompas una de las 2 películas que se te forman y..
“debes descubrir” que la tensión superficial supera a la fuerza de la gravedad (que haría caer la cuerda) y algo más importante: que la película jabonosa que se forma es la que tiene menor superficie. Este segundo detallazo es muy importante porque va a ayudarnos a descubrir lo que está pasando.
Después preparas un cubo con 12 cañitas de refresco de tamaño 10 cm, lo introduces en la disolución jabonosa y ¡déjate impresionar por la pompa cuadrada que se obtiene!:
deja cerca una cañita de refresco, moja uno de los extremos en la disolución jabonosa y el otro lo acercas al cuadrado que se ha formado. Sopla con cuidado en uno de los vértices del cuadrado:
En el siguiente vídeo puedes oir los gritos que dimos el verano pasado al descubrir como éramos capaces de formar una pompa cúbica
El asombro dura un tiempo, el suficiente para que la curiosidad “nos pique” y nos haga INVESTIGAR, ¿por qué se forma una pompa cuadrada en el interior de un cubo?. Accedemos a la wikipedia para conocer las dos primeras Leyes de Plateau y ahora, al observar la película jabonosa formada, descubrimos que en el interior del cubo hay 12 aristas y 4 vértices (del cuadrado).
Y ¿por qué no se forma una película que “recubra” las seis caras cuadradas del cubo?. Es el momento de usar las Matemáticas y aplicar los conocimientos adquiridos en Trigonometría.
Si hemos preparado un cubo de arista 10 cm, una de las cara tendrá 100 cm2 de superficie y las seis caras del cubo tendrán una superficie de 600 cm2. Al introducirlo en la disolución jabonosa se forman diferentes películas jabonosas. Vuelve a mirar en esta imagen y te ayudo a descubrir que:
se forman 8 trapecios de lado mayor 10 cm y de lado menor 2 cm (es fácil calcular la altura porque la 1ª Ley de Plateau nos indica que el ángulo entre aristas es de 120º), 4 triángulos uno de cuyos lados vale 10m y del que conocemos el ángulo contrario al lado conocido 109º28´(2ª Ley de Plateau) y 1 cuadrado en el interior de 2 cm de lado. No muestro números para no aburrir porque no tengo aún Latex instalado en este blog y para picaros aún más si cabe. Nuestros cálculos nos indican que sale una superficie de 407,35 cm2, bastante menos que los 600 cm2 de la pompa que recubriría las seis caras del cubo. Y podríamos argumentar que “por unidad de volumen (el cubo tiene un volumen de 1000 cm3) las pompas de jabón tienden a minimizar la superficie de contacto”.
Podrían plantearse otras posibles películas jabonosa ¿por qué no se unen entre sí los vértices opuestos con 4 diagonales formando un único punto central? Este hipotético punto central del cubo sería un punto que equidistaría de los 8 vértices del cubo. No es posible porque entraría en contradicción con las 2 primeras Leyes de Plateau pero podríamos “justificarlo numéricamente” sumando las áreas de los 12 triángulos iguales que hipotéticamente se formarían en su interior. Incluso hay veces que al extraer el cubo se obtienen otras superficies miniminales diferentes a las del cuadrado y cuya superficie debe estar más cercana a ésta que a la de 600 cm2.
También puedes preparar con cañitas de refresco un tetraedro de arista 10 cm introducirlo en la disolución jabonosa y soplar con suavidad en el único vértice que se forma por intersección de las 4 aristas del interior como indican las Leyes de Plateau:
y se pueden hacer números para justificar numéricamente que la película jabonosa que se forma es la que tiene una menor superficie por unidad de volumen.
Con las pompas de jabón nos hemos divertido, hemos usado las Matemáticas y hemos trabajado en Competencias.
Proyecto Integrado de Bachillerato (*)
Es una asignatura optativa de oferta obligada en Andalucía en 4º ESO y en Bachillerato, y en el que se deben desarrollar pequeñas investigaciones en las que el alumnado trabaje directamente con la documentación (independientemente del soporte) aprendiendo a aprender y a trabajar autónomamente.
En el BOJA se describe como trabajos de investigación y los profesores tenemos absoluta libertad para seleccionar los temas pero de forma que:
Faciliten y estimulen la búsqueda de información, la aplicación global del conocimiento, de estrategias y conocimientos prácticos, capacidades sociales y destrezas diversas, no necesariamente vinculadas al currículo de las materias del curso.
Impliquen la realización de algo tangible.
Impliquen la transmisión de la información a los demás, dentro y/o fuera del centro educativo, sobre el trabajo o la obra realizados, las conclusiones obtenidas, etc., usando diferentes códigos de comunicación, oral y escrito, simbólico, artístico, etc., en español o en otros idiomas y apoyándose en las tecnologías de la información y la comunicación.
Las actividades que se realicen deben conectar de alguna forma con el mundo real, para que el alumnado tenga oportunidad de aplicar e integrar conocimientos diversos y pueda actuar dentro y fuera de los centros docentes.
Los alumnos y alumnas hagan una aproximación a lo que supone hacer un trabajo en condiciones reales (…).
Fomenten la participación de todos y todas en las discusiones, toma de decisiones y en la realización del proyecto, sin perjuicio de que puedan repartirse tareas y responsabilidades,
Acostumbren al alumnado a hacerse responsable, tanto de su propio aprendizaje como de la parte que le corresponda en la realización el proyecto.
Con estas puertas abiertas a la investigación comprenderéis lo apasionado que he estado en estos dos últimos meses, aunque es una pena disponer de UNA ÚNICA hora a la semana, ¿verdad?
Estamos en la VIII Feria de la Ciencia con 110 de nuestros/as alumnos/as de los IES Cristóbal de Monroy e IES Profesor Tierno Galván ambos de Alcalá de Guadaíra. Puedes seguirnos “en directo” visualizando estas imágenes:
Cinco son los poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro.
Pero ¿por qué son sólo 5 los poliedros regulares? y ¿qué es un poliedro regular o platónico?.
“Son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras“. Dicho así en una clase, difícilmente te entienden la mitad de ellos, es mejor manipularlo para entenderlo y, quizás, no olvidarlo.
Podemos empezar con un triángulo equilátero del que sabemos que los 3 lados miden lo mismo y, por lo tanto, sus ángulos también, 60º. En un cuadrado, que también tiene todos sus lados iguales, por triangulación podemos entender que sus ángulos interiores miden 90º. De la misma forma que en un pentágono es 108º y en un hexágono 120º. Todos ellos son polígonos regulares.
Ahora con estos polígonos regulares vamos a formar los únicos 5 poliedros regulares consiguiendo que a cada vértice lleguen el mismo número de caras y de aristas. En el siguiente vídeo explico el proceso utilizando cañitas de refresco:
“Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro / el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas sólido o de los cinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (el agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que al dodecaedro le asignó el Universo. Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja al dodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjunción de los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para toda cuando dibujó el orden final.” Información obtenida en este enlace. Para ampliar la información pulsa en este enlace de DIVULGAMAT.
Otra de las actividades previstas en el Taller de Matemáticas Manipulativas de 2º ESO de nuestro IES Profesor Tierno Galván ha sido la presentación del “Salón de juegos Matemáticos“ en el CEIP José Ramón de Alcalá de Guadaíra. Consiste en acercar las famosas “Olimpiadas Matemáticas”, que celebra la SAEM Thales en la Facultad de Matemáticas de Sevilla, y que presentamos como una gymkhana matemática en la que cada pareja de alumnos debe resolver 10 pruebas en el menor tiempo posible. A los alumnos/as que quedan en primer y segundo lugar se les hace entrega de un diploma.
Para la resolución de los problemas planteados, los alumnos de Primaria no deben aplicar ningún concepto Matemático previamente explicados por el profesor ya que estas actividades se enmarcan en la línea de tratar que piensen matemáticamente, es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones que se les plantea, aunque es cierto que es necesario que hayan interiorizado determinados contenidos Matemáticos relevantes para hacer frente a la resolución de los mismos. Por ejemplo, la colocación de barquitos en un tablero:
buscar triángulos en un gato:
localizar los tesoros del Pirata Garrapata:
cada oveja con su pareja:
sumar 9 todas las líneas:
un puzzle con pentominós:
Para los alumnos de nuestro Instituto , la experiencia les sirve para fomentar y buscar habilidades divulgativas muy necesarias en su vida futura, ya que aprenden a transmitir conceptos Matemáticos permitiendo acercar las Matemáticas a otros y modificar actitudes de rechazo inherentes a la asignatura
y porque se lo pasan muy bien:
y porque les hace mucha ilusión estar con los maestros que tantos esfuerzos han hecho en su formación.
Nuestro agradecimiento a sus maestras (María del Águila, Valle y Amalia) y a Carmen Pilar, Directora del Colegio, por las muchísimas facilidades dadas para realizar esta actividad:
Enhorabuena a los premiados y premiadas:
y a todos los chavales por su excelente participación.
Las “seños” del IES (Elvira, Sonia y Carmen) y el que escribe nos lo hemos pasado muy bien:
Ahora nos esperan en un CEIP de Dos Hermanas que nos han pedido que hagamos esta actividad.
El resto de las fotos:
Esta actividad la desarrollamos profesores que pernecemos al “Grupo Diedro“ formado por profesores de los IES Leonor de Guzmán, el IES Cristóbal de Monroy y el IES Tierno Galván todos ellos de Alcalá de Guadaíra.
Mi idea era ponerle a este post “Ya ha llegado la primavera Matemática“, pero la verdad es que todavía hace frío y con tanta lluvia y tan poco sol, ha costado mucho trabajo que florezcan nuestras flores. Pero paso a contaros un primer bloque de actividades que hemos estado haciendo en los talleres manipulativos de nuestra IES Profesor Tierno Galván que han tenido como eje central las flores y las Matemáticas.
lo hemos estado cuidadando mucho, sin regarlo por las intensas lluvias habidas, y cuando veíamos un rayo de sol …. al patio
y por fin hemos obtenido el resultado esperado, una preciosa rosa matemática
Ha sido muy estimulante ver las caras de los chavales que han conseguido hacerla y con la ilusión que se las llevaban a casa para regalárselas a sus padres. Mirar esta preciosidad hecha por mi compañera Elvira
ni las de vivero.
También hemos trabajado los caleidociclos para hacernos unas preciosas flores tipo margaritas, para ello hemos utilizado unas cartulinas de 21cmx7cm ( hacen falta unir 3 cuadrados) que hemos dibujado-coloreado al gusto
y troquelando adecuadamente
pegando la pieza, obtenemos unas flores “caleidocíclicas” que han quedado muy bien
Pero trabajando con los caleidociclos en el grupo de 4º ESO
Goyo, uno de los alumnos, nos ha enseñado a hacer una piña
que ha faltado comérsela …
También hemos hecho flores que pueden encontrarse en cualquier libro de papiroflexia y algunas chicas han dejado “escapar” su imaginación…
ya escribí por San Valentín de la confección de unas flores que tanto juego han dado:
Con todos ellos, hemos hecho unos ramos de flores, que han quedado muy decorativos:
Dejo para terminar de contar el primer bloque de actividades el icosaedro y el cuboctaedro con módulos rizados (30 módulos y 12 módulos, respectívamente)
con el que también arrancaré el segundo bloque de actividades planteadas en las clases, y es que si observamos las flores (y paralelamente vemos la imagen anterior) y los árboles, éstos obtienen humedad y nutrientes del aire que les rodea por lo que se justifica la necesidad de maximizar las superficies que interactúan con la atmósfera y…. to be continued
Nos indican los vértices con un número, lo que he hecho es plegar y doblar para conseguir unir los vértices.
Es un proyecto de la 
Para la resolución de los problemas planteados, los alumnos de Primaria no deben aplicar ningún concepto Matemático previamente explicados por el profesor ya que estas actividades se enmarcan en la línea de tratar que piensen matemáticamente, es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones que se les plantea, aunque es cierto que es necesario que hayan interiorizado determinados contenidos Matemáticos relevantes para hacer frente a la resolución de los mismos. Por ejemplo, la colocación de barquitos en un tablero:
buscar triángulos en un gato:
localizar los tesoros del Pirata Garrapata:
cada oveja con su pareja:
sumar 9 todas las líneas:
y porque les hace mucha ilusión estar con los maestros que tantos esfuerzos han hecho en su formación.
Nuestro agradecimiento a sus maestras (María del Águila, Valle y Amalia) y a Carmen Pilar, Directora del Colegio, por las muchísimas facilidades dadas para realizar esta actividad:
y a todos los chavales por su excelente participación.
ni las de vivero.
y troquelando adecuadamente
pegando la pieza, obtenemos unas flores “caleidocíclicas” que han quedado muy bien
Pero trabajando con los caleidociclos en el grupo de 4º ESO
Goyo, uno de los alumnos, nos ha enseñado a hacer una piña
que ha faltado comérsela …
ya escribí por 
Con todos ellos, hemos hecho unos ramos de flores, que han quedado muy decorativos:
con el que también arrancaré el segundo bloque de actividades planteadas en las clases, y es que si observamos las flores (y paralelamente vemos la imagen anterior) y los árboles, éstos obtienen humedad y nutrientes del aire que les rodea por lo que se justifica la necesidad de maximizar las superficies que interactúan con la atmósfera y…. to be continued
