Matemáticas interactivas y manipulativas

En una anterior entrada, “Matemáticas con pompas de jabón en 3D“, contaba alguna de las actividades que habíamos trabajado con nuestros/as alumnos/as de Proyecto Integrado de Bachillerato usando cubos, tetraedros, etc, fabricados por nosotros y obteníamos una conclusión experimental importante: “que por unidad de volumen, las pompas de jabón se tienden a formar minimizando su superficie“. Utilizamos para su comprobación numérica conocimientos en Trigonometría adquiridos anteriormente. Ahora vamos a analizar qué ocurre en 2D. Para ello preparamos con tapas de cd-rom, tornillos y tuercas las siguientes estructuras casi planas:

Tres tornillos forman un triángulo (en la imagen superior pueden verse de 2 tipos: equilátero e isósceles) y con 4 tornillos podemos obtener una forma cuadrada o trapezoidal (puede prepararse cualquier cuadrilátero). Observamos en las imágenes unos círculos graduados preparados por uno de los alumnos de Bachillerato (Javier M.) y que nos van a permitir medir ángulos.

Fácilmente se puede calcular la superficie de estas figuras geométricas (suponiéndolas planas) considerando, por ejemplo, que el lado es la unidad. Y ¿cuánto vale el perímetro?.

Está claro que entre 2 puntos (tornillos) el camino más corto es la línea recta que une ambos.

y además es la menor distancia posible, que sería  1 unidad en nuestro caso.

¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 3 tornillos?. Se podría pensar que se formaría una película que recorrería los 3 puntos y la longitud de la película jabonosa sería de 3 unidades. Aunque debemos darnos cuenta que con sólo 2 películas tendríamos unidos tamabién los 3 tornillos y el camino mínimo que uniría los 3 tornillos valdría 2 unidades.

¿Qué pasa al introducir el cd-rom? Observad la siguiente imagen:

¿Sabéis cuanto vale el ángulo entre las películas jabonosas?: 120º, lo que indica la 1ª Ley de Plateau.

Conocemos el ángulo, conocemos el valor del lado del triángulo (1 unidad), queda aplicar nociones básicas de Trigonometría para descubrir el valor de uno de estos 3 trozos. La suma de los tres trozos nos sale la raíz cuadrada de 3 = 1,732… unidades. ¡¡Hemos obtenido un camino entre los 3 tornillos menor que 2 unidades!!.

¿Qué pasaría con los cd-rom que tienen 4 tornillos? Si consideramos que el cuadrado tiene de lado 1 unidad, podríamos pensar en una película que recorriese los 4 tornillos y su perímetro sería 4 unidades, aunque sería más corto 3 películas con un tamaño de 3 unidades. Pero seguro que nos parece menor 2 películas por las diagonales del cuadrado y que se corten en un punto (cuya distancia a los 4 tornillos sea la menor posible)

y el cálculo de ese camino es fácil utilizando Pitágoras, obteniendo que ambos caminos suman 2 veces la raíz cuadrada de 2 = 2,82 unidades, ¡¡más corto!!. Introducimos el cd-rom y…

¡¡no es lo previsto!! . Observad el ángulo entre películas: nuevamente se respeta la 1ª Ley de Plateau (ángulo de 120ºentre las películas jabonosas).

Numéricamente obtenemoss 1 + raíz cuadrada de 3 que es más o menos 2,73 unidades, ¡¡mucho menor que lo que habíamos previsto!!

Con lo que  hemos comprobado experimentalmente que “por unidad de superficie, se forma la que tenga menor recorrido“.

Hemos preparado muchos otros cds con diferentes situaciones poligonales, prediciendo lo que podía ocurrir y nos hemos sorprendido con algunos resultados experimentales. Por ejemplo, os recomiendo que preparéis un hexágono regular con 6 tornillos. ¿Qué creéis que va a ocurrir?.

Esta entrada  es mi segunda aportación a la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Zurditorium.

No hay duda de que las pompas de jabón cuadradas, cúbicas y tetraédricas han sido una de nuestras actividades estrella en la VIII Feria de la Ciencia de Sevilla y es que las pompas de jabón tienen “algo” que llama la atención a grandes y a pequeños. Como profesor debo deciros que el trabajar con pompas con mis alumnos/as de Proyecto Integrado de Bachillerato (*) en estos dos últimos meses ha sido todo un reto y una experiencia inolvidable tanto por la forma en la que se ha trabajado en el laboratorio como por los resultados obtenidos.

No voy a detallar las sesiones que hemos dedicado a descubrir los efectos de la tensión superficial de los líquidos porque, aunque muy interesante y clarificador, no quiero extenderme. Lo mejor es que te pongas manos a la obra, prepares una disolución jabonosa (1 litro de agua mineral, unas 6 cucharadas de Fairy y otras 6 de glicerina), hagas con alambre una estructura cerrada cuadrada, le anudes una pequeña cuerda en 2 lados contiguos del cuadrado, lo introduzcas en la disolución, lo saques y rompas una de las 2 películas que se te forman y..

“debes descubrir” que la tensión superficial supera a la fuerza de la gravedad (que haría caer la cuerda) y algo más importante: que la película jabonosa que se forma es la que tiene menor superficie. Este segundo detallazo es muy importante porque va a ayudarnos a descubrir lo que está pasando.

Después preparas un cubo con 12 cañitas de refresco de tamaño 10 cm, lo introduces en la disolución jabonosa y ¡déjate impresionar por la pompa cuadrada que se obtiene!:

deja cerca una cañita de refresco, moja uno de los extremos en la disolución jabonosa y el otro lo acercas al cuadrado que se ha formado. Sopla con cuidado en uno de los vértices del cuadrado:

En el siguiente vídeo puedes oir los gritos que dimos el verano pasado al descubrir como éramos capaces de formar una pompa cúbica

El asombro dura un tiempo, el suficiente para que la curiosidad “nos pique” y nos haga INVESTIGAR,  ¿por qué se forma una pompa cuadrada en el interior de un cubo?. Accedemos a la wikipedia para conocer las dos primeras Leyes de Plateau y ahora, al observar la película jabonosa formada, descubrimos que en el interior del cubo hay 12 aristas y 4 vértices (del cuadrado).

Y ¿por qué no se forma una película que “recubra”  las seis caras cuadradas del cubo?. Es el momento de usar las Matemáticas y aplicar los conocimientos adquiridos en Trigonometría.

Si hemos preparado un cubo de arista 10 cm, una de las cara tendrá 100 cm2 de superficie y las seis caras del cubo tendrán una superficie de 600 cm2. Al introducirlo en la disolución jabonosa se forman diferentes películas jabonosas. Vuelve a mirar en esta imagen y te ayudo a descubrir que:

se forman 8 trapecios de lado mayor 10 cm y de lado menor 2 cm (es fácil calcular la altura porque la 1ª Ley de Plateau nos indica que el ángulo entre aristas es de 120º), 4 triángulos uno de cuyos lados vale 10m y del que conocemos el ángulo contrario al lado conocido 109º28´(2ª Ley de Plateau) y 1 cuadrado en el interior de 2 cm de lado. No muestro números para no aburrir porque no tengo aún Latex instalado en este blog y para picaros aún más si cabe. Nuestros cálculos nos indican que sale una superficie de 407,35 cm2, bastante menos que los 600 cm2 de la pompa que recubriría las seis caras del cubo. Y podríamos argumentar que “por unidad de volumen (el cubo tiene un volumen de 1000 cm3) las pompas de jabón tienden a minimizar la superficie de contacto”.

Podrían plantearse otras posibles películas jabonosa ¿por qué no se unen entre sí los vértices opuestos con 4 diagonales formando un único punto central? Este hipotético punto central del cubo sería un punto que equidistaría de los 8 vértices del cubo. No es posible porque entraría en contradicción con las 2 primeras Leyes de Plateau pero podríamos “justificarlo numéricamente” sumando las áreas de los 12 triángulos iguales que hipotéticamente se formarían en su interior. Incluso hay veces que al extraer el cubo se obtienen otras superficies miniminales diferentes a las del cuadrado y cuya superficie debe estar más cercana a ésta que a la de 600 cm2.

También puedes preparar con cañitas de refresco un tetraedro de arista 10 cm introducirlo en la disolución jabonosa y soplar con suavidad en el único vértice que se forma por intersección de las 4 aristas del interior como indican las Leyes de Plateau:

y se pueden hacer números para justificar numéricamente que la película jabonosa que se forma es la que tiene una menor superficie por unidad de volumen.

Con las pompas de jabón nos hemos divertido, hemos usado las Matemáticas y hemos trabajado en Competencias.

Proyecto Integrado de Bachillerato (*)

Es una asignatura optativa de oferta obligada en Andalucía en 4º ESO y en Bachillerato, y en el que se deben desarrollar pequeñas investigaciones en las que el alumnado trabaje directamente con la documentación (independientemente del soporte) aprendiendo a aprender y a trabajar autónomamente.

En el  BOJA se describe como trabajos de investigación y los profesores tenemos absoluta libertad para seleccionar los temas pero de forma que:

• Faciliten y estimulen la búsqueda de información, la aplicación global del conocimiento, de estrategias y conocimientos prácticos, capacidades sociales y destrezas diversas, no necesariamente vinculadas al currículo de las materias del curso.
• Impliquen la realización de algo tangible.
• Impliquen la transmisión de la información a los demás, dentro y/o fuera del centro educativo, sobre el trabajo o la obra realizados, las conclusiones obtenidas, etc., usando diferentes códigos de comunicación, oral y escrito, simbólico, artístico, etc., en español o en otros idiomas y apoyándose en las tecnologías de la información y la comunicación.
• Las actividades que se realicen deben conectar de alguna forma con el mundo real, para que el alumnado tenga oportunidad de aplicar e integrar conocimientos diversos y pueda actuar dentro y fuera de los centros docentes.
• Los alumnos y alumnas hagan una aproximación a lo que supone hacer un trabajo en condiciones reales (…).
• Fomenten la participación de todos y todas en las discusiones, toma de decisiones y en la realización del proyecto, sin perjuicio de que puedan repartirse tareas y responsabilidades,
• Acostumbren al alumnado a hacerse responsable, tanto de su propio aprendizaje como de la parte que le corresponda en la realización el proyecto.

Con estas puertas abiertas a la investigación comprenderéis lo apasionado que he estado en estos dos últimos meses, aunque es una pena disponer de  UNA ÚNICA hora a la semana, ¿verdad?

Esta entrada va a formar parte de la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium.